Слова проект, проектировать, проектор, проекция пришли к нам из латинского языка (projector — «брошенный вперёд»). Во всех этих словах в корне пишется гласная буква е. Однако часто, под влиянием произношения, в данных словах допускаются орфографические ошибки: вместо буквы е многие пишут гласную э: проэкт, проэктироватъ, проэктор, проэкция, проэктировщик.
Следует различать написание и произношение слова: пишем проект, произносим проэкт, пишем проектор, произносим проэктор.
Аналогичное правило можно отнести, например, и к английскому по происхождению слову риёлтор («агент по продаже недвижимости»): пишется риелтор, произносится риэлтор.
Итак, правильное написание: проект (через е).